Бага, дунд, ахлах ангийн сурагчдад зориулсан гол томьёонуудын тайлбар
Доорх бүлгүүдээс сонирхсон хэсгээ дарж шууд унших боломжтой.
$$\text{Хувь} = \frac{\text{Хэсэг}}{\text{Бүтэн}} \times 100\%$$
Жишээ: 200-ийн 25% нь $200 \times \frac{25}{100} = 50$.
$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$
$n$ ширхэг тооны нийлбэрийг тоонуудын тоонд хуваана.
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \;\Longleftrightarrow\; a \cdot d = b \cdot c$$
Хөндлөн үржвэр тэнцүү.
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3$$
$$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$$
$$ax + b = 0 \;\Longrightarrow\; x = -\frac{b}{a}, \quad a \ne 0$$
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
$$(a^m)^n = a^{mn}$$
$$a^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a \ne 0$$
$$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}, \quad \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$$
$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \quad a, b \ge 0$$
$$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$$
$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$
$$\log_a x^n = n \log_a x$$
$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad (\text{суурийг сольсон})$$
$$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0$$
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
$D = b^2 - 4ac$ нь дискриминант. $D > 0$ үед хоёр шийд, $D = 0$ үед нэг шийд, $D < 0$ үед бодит шийдгүй.
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\big(2a_1 + (n-1)d\big)}{2}$$
$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$
$$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \quad q \ne 1$$
$$S_\infty = \frac{b_1}{1 - q}, \quad |q| < 1$$
Дөрвөлжин: $S = a^2$
Тэгш өнцөгт: $S = a \cdot b$
Параллелограм: $S = a \cdot h$
Гурвалжин: $S = \dfrac{1}{2} a h = \dfrac{1}{2} ab \sin C$
Трапец: $S = \dfrac{(a + b) h}{2}$
Тойрог: $S = \pi r^2, \quad C = 2 \pi r$
$$a^2 + b^2 = c^2$$
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетийн квадратын нийлбэр гипотенузын квадраттай тэнцүү.
Куб: $V = a^3$
Параллелепипед: $V = a \cdot b \cdot c$
Цилиндр: $V = \pi r^2 h$
Конус: $V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$
Бөмбөг: $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3, \quad S_{\text{гадаргуу}} = 4 \pi r^2$
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$
$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}, \quad 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$
$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$
$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$
$$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$$
$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$
$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$$
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$
Налуу-цэгээр: $y - y_0 = k(x - x_0)$
Налуу-таслагдсан: $y = kx + b$
Налуу: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
Төв $(a, b)$, радиус $r$.
$$(x^n)' = n x^{n-1}$$
$$(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x$$
$$(e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}$$
$$(u \cdot v)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
Гинж: $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$$
$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$$
$$\int e^x \, dx = e^x + C$$
$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x \, dx = \sin x + C$$
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
$F'(x) = f(x)$ байх анхдагч.
$$P(A) = \frac{m}{n}$$
$m$ — таатай үр дүн, $n$ — нийт боломжит үр дүн.
$$0 \le P(A) \le 1, \quad P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
$$P_n = n!, \quad A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}, \quad C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$$
